Тренажёры и задания 9 класс
Тренажёр по процентам, 7–9 класс: две скидки, изменение цены, вклады
Здесь ты потренируешься решать задачи на проценты для 7 и 8 класса: найдёшь процент от числа и новую цену после изменения. Потом разберёшь скидку на скидку и посчитаешь доход по вкладу. Страница подойдёт ученикам 7–9 класса и родителям, которые помогают с домашним заданием.
Занимайся 10–15 минут в день. За один раз бери один раздел: прочитай объяснение и реши задачи к нему. На следующий день открой следующий раздел.
В основе одна идея: изменение на несколько процентов — это умножение на множитель. Освоишь этот приём, и скидки, цены и вклады окажутся одной задачей в разных сюжетах.
Что такое процент и как его записывать
Начнём с записи: от неё зависит решение любой задачи.
Процент — это сотая доля числа: 1% = 0,01.
Целое делят на сто равных долей. Все сто долей дают 100%, то есть всё целое. А 150% больше целого: это полторы величины.
Например, 25% означает 25 сотых: 25% = 0,25 = 1/4. Так же 50% = 0,5 = 1/2, 12,5% = 0,125 = 1/8, 150% = 1,5.
Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, раздели число на 100. Для обратного перевода умножь число на 100 и поставь знак %: 0,4 → 40%. Тебе понадобятся оба направления.
Устно, 7 класс: 75% → ?; 0,4 → ?%; 1/5 → ?%; 5% → ?; 200% → ?
Ответы: 0,75; 40%; 20%; 0,05; 2.
Три базовых типа задач на проценты (7 класс)
Большинство школьных задач на проценты относится к одному из трёх типов. Твоя задача — узнавать их с первого взгляда. Каждый тип можно решить и пропорцией: об этом сказано в частых вопросах.
Задание 1Процент от числа
Формула: p% от числа a = a · p/100.
На школьной ярмарке испекли 240 пирожков, 15% из них с вишней. Сколько вишнёвых пирожков?
<strong>Ответ:</strong> 36.
<strong>Разбор:</strong> 1) Переводим 15% в дробь: 0,15. 2) Умножаем: 240 · 0,15 = 36.
Тренировка: 20% от 350; 8% от 150; 35% от 60. Ответы: 70; 12; 21.
Задание 2Число по его проценту
Формула: если b составляет p% числа, то число равно b : (p/100).
В секции плавания 18 ребят ходят на субботнюю тренировку. Это 30% всех участников. Сколько человек в секции?
<strong>Ответ:</strong> 60.
<strong>Разбор:</strong> 1) 30% = 0,3. 2) 18 : 0,3 = 60. 3) Проверка: 60 · 0,3 = 18.
Тренировка: 12 — это 40% числа; 45 — это 15% числа; 7 — это 35% числа. Ответы: 30; 300; 20.
Задание 3Сколько процентов составляет одно число от другого
Формула: b : a · 100%.
На поездку купили 48 билетов, из них 12 детских. Какую долю в процентах составляют детские билеты?
<strong>Ответ:</strong> 25%.
<strong>Разбор:</strong> 12 : 48 = 0,25 = 25%.
Тренировка: 6 из 40; 27 из 90; 3 из 12. Ответы: 15%; 30%; 25%.
Как отличить типы? Если известно целое и процент, а нужна часть, это первый тип. Если известна часть и её процент, а целое неизвестно, это второй: «18 человек — это 30% секции». Если известны оба числа, а нужен процент, это третий.
Изменение цены: повышение и снижение на p%
В этом разделе появляется главный инструмент — множитель.
Если цену повышают на p%, её умножают на (1 + p/100). Если снижают, умножают на (1 − p/100). Откуда это берётся? Старую цену принимаем за 100% и прибавляем к ней p% или вычитаем их.
Например, футболка стоила 800 руб. После повышения на 15% она стоит 800 · 1,15 = 920 руб. После снижения на 15% её цена 800 · 0,85 = 680 руб.
Задание 4Какой была цена до повышения
Перед поездкой ты присмотрел рюкзак. Цену повысили на 25%, и теперь он стоит 1250 руб. Сколько он стоил раньше?
<strong>Ответ:</strong> 1000 руб.
<strong>Разбор:</strong> 1) Множитель повышения равен 1,25. 2) Старая цена · 1,25 = 1250. 3) Старая цена = 1250 : 1,25 = 1000. 4) Проверка: 1000 · 1,25 = 1250.
Главная ловушка — отнять 25% от 1250. Выйдет 937,5 руб., и это неверно: проценты считали от старой цены, а не от новой. Верный путь — разделить на множитель.
Процент изменения находят по формуле (новое − старое) / старое · 100%. Для цен 800 и 920: (920 − 800) / 800 · 100% = 120 / 800 · 100% = 15%.
Две скидки подряд и последовательные изменения (8 класс)
Когда цена меняется несколько раз, множители перемножают.
Задание 5Скидка на скидку
На сезонной распродаже кроссовки стоят 2500 руб. Сначала на них дали скидку 20%, потом ещё 10% от новой цены. Сколько стоят кроссовки и какова итоговая скидка?
<strong>Ответ:</strong> 1800 руб., итоговая скидка 28%.
<strong>Разбор:</strong> 1) 2500 · 0,8 = 2000. 2) 2000 · 0,9 = 1800. 3) Общий множитель: 0,8 · 0,9 = 0,72. Цена составляет 72% от исходной, скидка равна 100% − 72% = 28%.
Почему не 30%? Вторую скидку считают от сниженной цены 2000 руб., а не от 2500. При скидке 30% кроссовки стоили бы 1750 руб.
Порядок скидок на итог не влияет: 0,8 · 0,9 = 0,9 · 0,8. Например, две скидки по 10% дают 0,9 · 0,9 = 0,81, итоговая скидка равна 19%.
А вот подъём и спуск на одинаковое число процентов цену не возвращают:
| Изменения | Множитель | Итог |
|---|---|---|
| +10%, затем −10% | 1,1 · 0,9 = 0,99 | цена ниже на 1% |
| +20%, затем −20% | 1,2 · 0,8 = 0,96 | цена ниже на 4% |
Снижение считают от уже выросшей цены. Двадцать процентов от большего числа больше, чем те двадцать, что прибавили.
Если тебе нужно вернуть цену после повышения на 25%, найди множитель возврата: 1 : 1,25 = 0,8. Нужна скидка 20%. Так же решается обратная задача про скидку. Допустим, после скидки 25% цена равна 600 руб. Исходная цена равна 600 : 0,75 = 800 руб., а не 600 · 1,25 = 750.
Вклады: простые и сложные проценты (8–9 класс)
Вклад — та же задача на повышение, только повторённая по годам. Обе формулы ниже работают, если ставка не меняется, проценты начисляют раз в год, а срок — целое число лет.
При простых процентах доход каждый год начисляют на исходную сумму: S = P(1 + rn). Здесь P — начальная сумма, r — годовая ставка в виде дроби, n — число лет. При сложных процентах (капитализации) проценты раз в год прибавляют к вкладу, и следующий доход начисляют на сумму вместе с ними: S = P(1 + r)ⁿ.
Задание 6Вклад на три года
Ты кладёшь 100 000 руб. на вклад в условном банке под 8% годовых на 3 года. Сколько будет на счёте при простых и при сложных процентах?
<strong>Ответ:</strong> 124 000 руб. и 125 971,20 руб.
<strong>Разбор:</strong> 1) Простые: 1 + 0,08 · 3 = 1,24, а 100 000 · 1,24 = 124 000. 2) Сложные: 1,08³ = 1,259712, а 100 000 · 1,259712 = 125 971,20.
| Год | Простые | Сложные |
|---|---|---|
| 1 | 108 000 | 108 000 |
| 2 | 116 000 | 116 640 |
| 3 | 124 000 | 125 971,20 |
Разница растёт с каждым годом: проценты сложного вклада сами приносят проценты. Например, 10 000 руб. под 10% на 2 года дают 12 000 руб. при простых процентах и 12 100 руб. при сложных.
Отдельная ловушка: процентный пункт — не процент. Если ставку подняли с 8% до 10%, она выросла на 2 процентных пункта (п. п.). Относительно исходной ставки это рост на 25%: (10 − 8) / 8 = 0,25.
Проценты в задачах из жизни
С процентами из учебника ты встретишься в чеке, в квитанции и в составе продуктов.
Задание 7Что выгоднее
В магазине А скидка 30%. В магазине Б две скидки подряд, по 15% каждая. Товар стоит 2000 руб. Где покупка дешевле?
<strong>Ответ:</strong> в магазине А.
<strong>Разбор:</strong> 1) Магазин А: 2000 · 0,7 = 1400 руб. 2) Магазин Б: 0,85 · 0,85 = 0,7225, и 2000 · 0,7225 = 1445 руб. 3) Итоговая скидка в Б составляет 27,75%, это меньше 30%.
Тот же приём работает и в других сюжетах. Если встретишь в задаче слова «на руки», ищи вычет налога. Например, из зарплаты 40 000 руб. удерживают налог 13%: 40 000 · 0,87 = 34 800 руб. Тариф вырос с 50 до 54 руб.: (54 − 50) / 50 = 8%. В 200 г раствора содержится 20 г соли: 20 : 200 = 0,1, доля соли равна 10%.
Тренажёр: задачи по уровням с ответами
Если задача не выходит, вернись к разделу с похожим заданием: например, к заданию 5 для двух скидок.
Уровень 1 (7 класс)
- Найди 30% от 450.
- 24 — это 60% числа. Найди число.
- Сколько процентов составляет 15 от 75?
<details><summary>Ответы</summary>
- 450 · 0,3 = 135. 2) 24 : 0,6 = 40. 3) 15 : 75 = 0,2 = 20%.
</details>
Уровень 2 (8 класс)
- Рюкзак стоил 1200 руб., цена выросла на 5%. Какова новая цена?
- После скидки 40% абонемент в секцию стоит 900 руб. Сколько он стоил раньше?
- Цена снизилась с 640 до 560 руб. На сколько процентов?
<details><summary>Ответы</summary>
- 1200 · 1,05 = 1260 руб. 5) 900 : 0,6 = 1500 руб. 6) (640 − 560) / 640 = 80 / 640 = 12,5%.
</details>
Уровень 3 (8–9 класс)
- Куртка за 3000 руб. подешевела на 25%, затем ещё на 20%. Найди цену и итоговую скидку.
- Цена выросла на 50%. На сколько процентов её нужно снизить, чтобы вернуть прежнюю?
- 50 000 руб. положили под условные 6% годовых на 2 года. Сколько будет на счёте при простых и при сложных процентах?
- Ставка выросла с 5% до 6%. На сколько процентных пунктов и на сколько процентов?
<details><summary>Ответы</summary>
- 0,75 · 0,8 = 0,6; 3000 · 0,6 = 1800 руб., скидка 40%. 8) 1 : 1,5 = 2/3, снизить на 1/3, примерно на 33,3%. 9) Простые: 50 000 · 1,12 = 56 000 руб.; сложные: 50 000 · 1,1236 = 56 180 руб. 10) На 1 п. п. и на 20%.
</details>
Типичные ошибки и как их проверить
Ошибок немного, и почти каждую ловит одна проверка: умножь ответ на множитель и сравни с условием.
- Скидки складывают. Перемножай множители: скидки 20% и 10% дают 0,72 от цены, то есть 28%.
- В обратной задаче отнимают процент от новой цены. Дели новую цену на множитель и проверяй умножением, как в задании 4.
- Процент изменения считают от новой цены. Делить нужно на старое значение: при 800 → 920 берут 120 / 800, а не 120 / 920.
- Путают процентные пункты и проценты. Разность ставок — это пункты. Процент изменения считай от исходной ставки.
- В сложных процентах умножают ставку на число лет. Так считают только простые проценты. Для капитализации возводи (1 + r) в степень n.
Частые вопросы
Можно ли решать задачи на проценты пропорцией? Да. Например, для «15% от 240» запиши: 240 соответствует 100%, x соответствует 15%, тогда x = 240 · 15 : 100 = 36.
Почему цена не вернулась после +20% и −20%? Скидку считают от выросшей цены: 1,2 · 0,8 = 0,96, и цена оказывается ниже исходной на 4%.
Зависит ли итог от порядка скидок? Нет. От перестановки множителей произведение не меняется: 0,8 · 0,9 = 0,9 · 0,8.
Чем процентный пункт отличается от процента? Пункт — это разность самих ставок. Процент показывает изменение относительно исходной ставки. Пример с 8% и 10% разобран в разделе о вкладах.
Как родителю проверить решение, не решая за ребёнка? Попросите подставить ответ обратно. Если после умножения на множитель получилось число из условия, ответ верный. Если нет, пусть ребёнок сам найдёт шаг с ошибкой.
Сколько заниматься в день? Хватит 10–15 минут: один раздел и один блок задач. В первую очередь повтори множители и задачу о двух скидках.
